ลิมิต

ตัวอย่างโจทย์

จงหาค่าของ $\lim\limits_{x \rightarrow-1}\left(x^2+2 x+3\right)$

วิธีทำ

ให้แทน $x = -1$ ลงไป

\begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow-1}\left(x^2+2 x+3\right) &\\ & =(-1)^2+2(-1)+3 &\\ & =1-2+3 &\\ & =2& \end{aligned}

รูปแบบยังไม่กำหนด $\begin{aligned}\frac{0}{0}\end{aligned}$

ในกรณีที่เราแทนค่าแล้ว ผลลัพธ์อยู่ในรูป $\begin{aligned}\frac{0}{0}\end{aligned}$ เราเรียกมันว่า “รูปแบบยังไม่กำหนด”

\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow a} f(a)=\frac{0}{0}\end{aligned}

วิธีแก้มี 3 วิธี

แยกตัวประกอบ

สังยุค

โลปิตาล

1. วิธีแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างโจทย์

จงหาค่าของ $\begin{aligned}\lim\limits_{x \rightarrow-3} \frac{x^2-9}{2 x+6}\end{aligned}$

วิธีทำ

\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^2-9}{2 x+6}=\frac{(-3)^2-9}{2(-3)+6}=\frac{9-9}{-6+6}=\frac{0}{0}\end{aligned}

\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^2-9}{2 x+6}&=\frac{(-3)^2-9}{2(-3)+6}\\&=\frac{9-9}{-6+6}\\&=\frac{0}{0}\end{aligned}

นำมาแยกตัวประกอบ

\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^2-9}{2 x+6} & =\lim _{x \rightarrow-3} \frac{\cancel{(x+3)}(x-3)}{2\cancel{(x+3)}} \\ & =\lim _{x \rightarrow-3} \frac{(x-3)}{2} \\ & =\frac{-3-3}{2} \\ & =-3 \end{aligned}

1. วิธีแยกตัวประกอบ

2. วิธีใช้สังยุค (Conjugate)

ตัวอย่างโจทย์

จงหาค่าของ $\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 6} \frac{9-\sqrt{x^2+45}}{x-6}\end{aligned}$

วิธีทำ

\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 6} \frac{9-\sqrt{x^2+45}}{x-6}=\lim _{x \rightarrow 6} \frac{9-\sqrt{6^2+45}}{6-6}=\frac{0}{0}\end{aligned}

\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 6} \frac{9-\sqrt{x^2+45}}{x-6}&=\lim _{x \rightarrow 6} \frac{9-\sqrt{6^2+45}}{6-6}\\&=\frac{0}{0} \end{aligned}

นำสังยุคคูณทั้งเศษและส่วน

\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 6} \frac{\left(9-\sqrt{x^2+145}\right)}{(x-6)} \cdot \frac{\left(9+\sqrt{x^2+145}\right)}{\left(9+\sqrt{x^2+45}\right)} & =\lim _{x \rightarrow 6} \frac{81-\left(x^2+45\right)}{(x-6)\left(9+\sqrt{\left.x^2+45\right)}\right.} \\ & =\lim _{x \rightarrow 6} \frac{-\cancel{(x-6)}(x+6)}{\cancel{(x-6)}\left(9+\sqrt{x^2+145}\right)} \\ & =-\frac{6+6}{\left(9+\sqrt{6^2+145}\right)} \\ & =-\frac{2}{3} \end{aligned}

\begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow 6} \frac{\left(9-\sqrt{x^2+145}\right)}{(x-6)} \cdot \frac{\left(9+\sqrt{x^2+145}\right)}{\left(9+\sqrt{x^2+45}\right)} \\ & =\lim _{x \rightarrow 6} \frac{81-\left(x^2+45\right)}{(x-6)\left(9+\sqrt{\left.x^2+45\right)}\right.} \\ & =\lim _{x \rightarrow 6} \frac{-\cancel{(x-6)}(x+6)}{\cancel{(x-6)}\left(9+\sqrt{x^2+145}\right)} \\ & =-\frac{6+6}{\left(9+\sqrt{6^2+145}\right)} \\ & =-\frac{2}{3} \end{aligned}

3. การแก้ลิมิตโดยวิธีโลปิตาล

ตัวอย่างโจทย์

จงหาค่าของ $\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^3-27}{x^2-9}\end{aligned}$

วิธีทำ

\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^3-27}{x^2-9}=\frac{3^3-27}{3^2-9}=\frac{0}{0}\end{aligned}

ทำการดิฟทั้งเศษและส่วน

\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^3-27}{x^2-9} & =\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\frac{d}{d x}\left(x^3-27\right)}{\frac{d}{d x}\left(x^2-9\right)} \\ & =\lim _{x \rightarrow 3} \frac{3 x^2}{2 x} \\ & =\frac{3(3)^2}{2(3)} \\ & =\frac{9}{2} \end{aligned}

3. การแก้ลิมิตโดยวิธีโลปิตาล