ลิมิต
ตัวอย่างโจทย์
จงหาค่าของ \lim\limits_{x \rightarrow-1}\left(x^2+2 x+3\right)
วิธีทำ
ให้แทน x = -1 ลงไป
\begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow-1}\left(x^2+2 x+3\right) &\\ & =(-1)^2+2(-1)+3 &\\ & =1-2+3 &\\ & =2& \end{aligned}
รูปแบบยังไม่กำหนด \begin{aligned}\frac{0}{0}\end{aligned}
ในกรณีที่เราแทนค่าแล้ว ผลลัพธ์อยู่ในรูป \begin{aligned}\frac{0}{0}\end{aligned} เราเรียกมันว่า “รูปแบบยังไม่กำหนด”
\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow a} f(a)=\frac{0}{0}\end{aligned}
วิธีแก้มี 3 วิธี
1. วิธีแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างโจทย์
จงหาค่าของ \begin{aligned}\lim\limits_{x \rightarrow-3} \frac{x^2-9}{2 x+6}\end{aligned}
วิธีทำ
\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^2-9}{2 x+6}=\frac{(-3)^2-9}{2(-3)+6}=\frac{9-9}{-6+6}=\frac{0}{0}\end{aligned}
\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^2-9}{2 x+6}&=\frac{(-3)^2-9}{2(-3)+6}\\&=\frac{9-9}{-6+6}\\&=\frac{0}{0}\end{aligned}
นำมาแยกตัวประกอบ
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^2-9}{2 x+6} & =\lim _{x \rightarrow-3} \frac{\cancel{(x+3)}(x-3)}{2\cancel{(x+3)}} \\ & =\lim _{x \rightarrow-3} \frac{(x-3)}{2} \\ & =\frac{-3-3}{2} \\ & =-3 \end{aligned}
1. วิธีแยกตัวประกอบ
2. วิธีใช้สังยุค (Conjugate)
2. วิธีใช้สังยุค (Conjugate)
ตัวอย่างโจทย์
จงหาค่าของ \begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 6} \frac{9-\sqrt{x^2+45}}{x-6}\end{aligned}
วิธีทำ
\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 6} \frac{9-\sqrt{x^2+45}}{x-6}=\lim _{x \rightarrow 6} \frac{9-\sqrt{6^2+45}}{6-6}=\frac{0}{0}\end{aligned}
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 6} \frac{9-\sqrt{x^2+45}}{x-6}&=\lim _{x \rightarrow 6} \frac{9-\sqrt{6^2+45}}{6-6}\\&=\frac{0}{0} \end{aligned}
นำสังยุคคูณทั้งเศษและส่วน
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 6} \frac{\left(9-\sqrt{x^2+145}\right)}{(x-6)} \cdot \frac{\left(9+\sqrt{x^2+145}\right)}{\left(9+\sqrt{x^2+45}\right)} & =\lim _{x \rightarrow 6} \frac{81-\left(x^2+45\right)}{(x-6)\left(9+\sqrt{\left.x^2+45\right)}\right.} \\ & =\lim _{x \rightarrow 6} \frac{-\cancel{(x-6)}(x+6)}{\cancel{(x-6)}\left(9+\sqrt{x^2+145}\right)} \\ & =-\frac{6+6}{\left(9+\sqrt{6^2+145}\right)} \\ & =-\frac{2}{3} \end{aligned}
\begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow 6} \frac{\left(9-\sqrt{x^2+145}\right)}{(x-6)} \cdot \frac{\left(9+\sqrt{x^2+145}\right)}{\left(9+\sqrt{x^2+45}\right)} \\ & =\lim _{x \rightarrow 6} \frac{81-\left(x^2+45\right)}{(x-6)\left(9+\sqrt{\left.x^2+45\right)}\right.} \\ & =\lim _{x \rightarrow 6} \frac{-\cancel{(x-6)}(x+6)}{\cancel{(x-6)}\left(9+\sqrt{x^2+145}\right)} \\ & =-\frac{6+6}{\left(9+\sqrt{6^2+145}\right)} \\ & =-\frac{2}{3} \end{aligned}
3. การแก้ลิมิตโดยวิธีโลปิตาล
ตัวอย่างโจทย์
จงหาค่าของ \begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^3-27}{x^2-9}\end{aligned}
วิธีทำ
\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^3-27}{x^2-9}=\frac{3^3-27}{3^2-9}=\frac{0}{0}\end{aligned}
ทำการดิฟทั้งเศษและส่วน
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^3-27}{x^2-9} & =\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\frac{d}{d x}\left(x^3-27\right)}{\frac{d}{d x}\left(x^2-9\right)} \\ & =\lim _{x \rightarrow 3} \frac{3 x^2}{2 x} \\ & =\frac{3(3)^2}{2(3)} \\ & =\frac{9}{2} \end{aligned}
3. การแก้ลิมิตโดยวิธีโลปิตาล
ลิมิตติดค่าสัมบูรณ์
ตัวอย่างโจทย์
จงหาค่าของ \begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 2} \frac{|8-4 x|}{x^2-4}\end{aligned}
วิธีทำ
\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 2} \frac{|8-4 x|}{x^2-4}=\frac{|8-4(2)|}{2^2-4}=\frac{0}{0}\end{aligned}
\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|8-4 x|}{x^2-4}=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|-4(x-2)|}{x^2-4}=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{4|x-2|}{x^2-4}\end{aligned}
\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|8-4 x|}{x^2-4}&=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|-4(x-2)|}{x^2-4}\\ &=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{4|x-2|}{x^2-4} \end{aligned}
\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|8-4 x|}{x^2-4}\\ &=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|-4(x-2)|}{x^2-4}&\\ &=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{4|x-2|}{x^2-4} \end{aligned}
เนื่องจาก |x-2| จะแบ่งออกเป็นสองค่า คือ -(x-2) และ (x-2)
สำหรับ x \rightarrow 2^{-} คือการแทนช่วง x<2 ใน |x-2|
พบว่าใต้ค่าสัมบูรณ์จะติดลบ ดังนั้นใช้ -(x-2)
เพราะฉะนั้น
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|8-4 x|}{x^2-4} & =\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{4|x-2|}{x^2-4} \\ & =\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{4[-(x-2)]}{x^2-4} \\ & =\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{4[-(x-2)]}{x^2-4} \\ & =\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-4\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x+2)} \\ & =\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-4}{(x+2)} \\ & =-1 \end{aligned}
\begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|8-4 x|}{x^2-4} \\ & =\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{4|x-2|}{x^2-4} \\ & =\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{4[-(x-2)]}{x^2-4} \\ & =\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{4[-(x-2)]}{x^2-4} \\ & =\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-4\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x+2)} \\ & =\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-4}{(x+2)} \\ & =-1 \end{aligned}