ปริพันธ์ (อินทิเกรต)
น้องต้องเรียนรู้ 4 หัวข้อคือ
อินทิเกรตพื้นฐาน
\begin{aligned} \int x^n d x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \end{aligned}
ตัวอย่างโจทย์
ให้ f(x) = 5x^4 จงหา \begin{aligned} \int f(x) d x \end{aligned}
วิธีทำ
\begin{aligned} f(x) &=5 x^{4} \\ \int f(x) d x &=\int 5 x^{4} d x \\ \int f(x) d x &=\frac{5 x^{4+1}}{4+1}+C \\ \int f(x) d x &=\frac{5 x^5}{5}+C \\ \int f(x) d x &=x^5+C \end{aligned}
อินทิเกรตจำกัดเขต
\begin{aligned} \left.\right|_a ^b x=b-a \end{aligned}
ตัวอย่างโจทย์
ให้ f(x) = 9x^2 จงหา \begin{aligned} \int_{1}^{2} f(x) d x \end{aligned}
วิธีทำ
Step 1. อินทิเกรตปกติ
\begin{aligned} \int f(x) d x &= \int 9 x^2 dx \\ &= 9 \int x^2 dx \\ &= \frac {9x^3}{3} \\ &= 3x^3 \end{aligned}
Step 2. ใส่ขอบเขต
\begin{aligned} \int_{1}^{2} f(x) d x &= 3x^3 \left.\right| _{1}^{2} \\ &= 3(2^3-1^3) \\ &= 21 \end{aligned}
อินทิเกรตเปลี่ยนตัวเทียบ
ตัวอย่างโจทย์
ให้ f(x) = (3x+5)^7 จงหา \begin{aligned} \int f(x) dx \end{aligned}
วิธีทำ
\textcircled 1 เราจะเปลี่ยน dx ให้กลายเป็น d(3x+5)
\textcircled 2 คูณเข้าต้องหารออก แต่บวกเข้าได้เลย ไม่ต้องลบออก
\begin{aligned} \int f(x) dx &= \int(3x+5)^7dx \impliedby \textcircled 1 \\ &= \int \frac{(3x+5)^7d(3x+5)}{3} \impliedby \textcircled 2 \\ &= \frac{1}{3} \int (3x+5)^7d(3x+5) \\ &= \frac{1}{3} \frac {(3x+5)^8}{8} + c \\ &= \frac{1}{24} (3x+5)^8 + c \end{aligned}
\begin{aligned} & \int f(x) dx \\ &= \int(3x+5)^7dx \impliedby \textcircled 1 \\ &= \int \frac{(3x+5)^7d(3x+5)}{3} \impliedby \textcircled 2 \\ &= \frac{1}{3} \int (3x+5)^7d(3x+5) \\ &= \frac{1}{3} \frac {(3x+5)^8}{8} + c \\ &= \frac{1}{24} (3x+5)^8 + c \end{aligned}
อินทิเกรตเปลี่ยนตัวแปร
ตัวอย่างโจทย์
จงหาค่าของ \begin{aligned}\int \frac {4x}{\sqrt{2x^{2}+1}} dx \end{aligned}
วิธีทำ
สมมุติให้
\begin{aligned} \mu & = 2x^2 + 1 \implies \textcircled 1 \\ \frac {d\mu}{dx} &= 4x \\ d\mu &= 4xdx \implies \textcircled 2 \end{aligned}
แทน \textcircled 1 และ \textcircled 2 ในโจทย์
\begin{aligned} \int \frac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}dx &= \int \frac{d\mu}{\sqrt{\mu}} \\ &= \int \mu^{\frac{1}{2}} d \mu \\ &= 2 \mu^{\frac{1}{2}} + c \end{aligned}
แทน \textcircled 1 กลับ
\begin{aligned} &= 2(2x^2+1)^{\frac{1}{2}} + c \end{aligned}