ความต่อเนื่อง

การที่โจทย์ข้อนั้นจะต่อเนื่องได้ ต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อ

$\begin{aligned}f(a)\end{aligned}$ หาค่าได้
$\begin{aligned} \lim\limits _{x \rightarrow a} f(x) \end{aligned}$ หาค่าได้
$\begin{aligned} f(a) = \lim\limits _{x \rightarrow a} f(x) \end{aligned}$

ถ้ามีคุณสมบัติครบทั้ง 3 ข้อ เรากล่าวว่า
“ $f$ มีความต่อเนื่องที่ $x=a$ “

โจทย์ความต่อเนื่อง

ตัวอย่างโจทย์ #1

กำหนดให้ $\begin{aligned} f(x)= \begin{cases}2 x & ; x \geqslant 2 \\[10pt] \frac{x^2-4}{x-2} & ; x<2\end{cases} \end{aligned}$

จงตรวจสอบว่า $f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x=2$ หรือไม่

วิธีทำ

Step 1

ได้ว่า $a=2$

$f(2) = 2(2) = 4 \implies\textcircled{1}$

$\therefore f(a)$ หาค่าได้

Step 2

$\begin{aligned} \lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} 2x = 2(2) = 4 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}-4}{x-2} & = \lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{\cancel{x-2}} \\ & = 4 \end{aligned}$

$\therefore \lim\limits _{x \rightarrow 2} f(x) = 4 \implies \textcircled{2}$ หาค่าได้

Step 3

จาก $\textcircled{1}$ และ $\textcircled{2}$
ได้ว่า $f(2)=\lim\limits _{x \rightarrow 2} f(x)$

$\therefore f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x=2$

ตัวอย่างโจทย์ #2

กำหนดให้ $\begin{aligned} f(x)= \begin{cases} k(x-1) & ; x \geqslant 5 \\[10pt] \frac{\sqrt{2x-1}-3}{x-5} & ; x<5 \end{cases} \end{aligned}$

จงหาค่า k ที่ทำให้ $f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x=5$

วิธีทำ

ถ้า $f(x)$ ต่อเนื่อง แล้ว $\lim\limits _{x \rightarrow 5} f(x)$ ต้องหาค่าได้

นั้นคือ

$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 5^{-}} f(x) & =\lim _{x \rightarrow 5^{+}} f(x) \\ \lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{\sqrt{2 x-1}-3}{x-5} & =\lim _{x \rightarrow 5^{+}} k(x-1) \\ \lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{(\sqrt{2 x-1}-3)}{x-5} \cdot \frac{(\sqrt{2 x-1}+3)}{(\sqrt{2 x-1}+3)} & =4 k \\ \lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{2 x-1-9}{(x-5)(\sqrt{2 x-1}+3)} & = 4k \\ \lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{2\cancel{(x-5)}}{\cancel{(x-5)}(\sqrt{2 x-1}+3)} & =4 k \\ \lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{2}{(\sqrt{2 x-1}+3)} & =4 k \\ \frac{2}{6} & =4 k \\ k & =\frac{1}{12} \end{aligned}$

นั้นคือ

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 5^{-}} f(x) =\lim _{x \rightarrow 5^{+}} f(x)&\\ & \lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{\sqrt{2 x-1}-3}{x-5} =\lim _{x \rightarrow 5^{+}} k(x-1) &\\ & \lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{(\sqrt{2 x-1}-3)}{x-5} \cdot \frac{(\sqrt{2 x-1}+3)}{(\sqrt{2 x-1}+3)} &\\&\qquad=4 k& \\ &\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{2 x-1-9}{(x-5)(\sqrt{2 x-1}+3)} = 4k &\\ &\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{2\cancel{(x-5)}}{\cancel{(x-5)}(\sqrt{2 x-1}+3)} =4 k \\ &\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{2}{(\sqrt{2 x-1}+3)} =4 k \\ &\frac{2}{6} =4 k \\ &k =\frac{1}{12} & \end{aligned}$