อนุพันธ์(ดิฟ)

อนุพันธ์ (ดิฟ)

มี 4 แบบซึ่งต้องเรียนรู้ทีละแบบดังนี้

\begin{aligned} \frac {dx^{n}}{dx} = nx^{n-1} \end{aligned}

ตัวอย่างโจทย์ #1

ให้ $y=x^8$ จงหา $\begin{aligned} \frac{dy}{dx} \end{aligned}$

วิธีทำ

\begin{aligned} y &= x^8 \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dx^8}{dx} \\ &= 8x^{8-1} \\ &= 8x^7 \end{aligned}

ตัวอย่างโจทย์ #2

ให้ $y=\sqrt{x}$ จงหา $\begin{aligned} \frac{dy}{dx} \end{aligned}$

วิธีทำ

\begin{aligned} y &= \sqrt{x} \\ y &= x^{\frac{1}{2}} \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dx^\frac{1}{2}}{dx} \\ &= \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} \\ &= \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{d(u+v)}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{d(u-v)}{d x}=\frac{d u}{d x}-\frac{d v}{d x} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{d(a \mu)}{d x}=\frac{a d(\mu)}{d x} \end{aligned}$

ดิฟกระจายบวกลบได้

ตัวอย่างโจทย์ #3

ให้ $y = x^3 + 2x^2 + 3x + 9$ จงหา $\begin{aligned} \frac{dy}{dx} \end{aligned}$

วิธีทำ

\begin{aligned} y & =x^3+2 x^2+3 x+9 \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{d}{d x}\left(x^3+2 x^2+3 x+9\right) \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{d x^3}{d x}+\frac{d 2 x^2}{d x}+\frac{d(3 x)}{d x}+\frac{d(9)}{d x} \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{d x^3}{d x}+\frac{2 d x^2}{d x}+\frac{3 d(x)}{d x}+\frac{d(9)}{d x} \impliedby \text{ดิฟตัวเลขใดๆ ได้ 0 เสมอ} \\ \frac{d y}{d x} & =3 x^2+4 x+3+0 \\ \frac{d y}{d x} & =3 x^2+4 x+3 \end{aligned}

\begin{aligned} &y =x^3+2 x^2+3 x+9 \\\\ &\frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}\left(x^3+2 x^2+3 x+9\right) \\ &=\frac{d x^3}{d x}+\frac{d 2 x^2}{d x}+\frac{d(3 x)}{d x}+\frac{d(9)}{d x} \\ &=\frac{d x^3}{d x}+\frac{2 d x^2}{d x}+\frac{3 d(x)}{d x}+\frac{d(9)}{d x} \\ &      \text{ดิฟตัวเลขใดๆ ได้ 0 เสมอ} \Uarr \\ &=3 x^2+4 x+3+0 \\ &=3 x^2+4 x+3 \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{d \mu^n}{d x}=n \mu^{n-1} \frac{d \mu}{d x} \end{aligned}

ตัวอย่างโจทย์

ให้ $y = (3x^{2}+1)^{9}$ จงหา $\begin{aligned} \frac{dy}{dx} \end{aligned}$

วิธีทำ

\begin{aligned} y & =\left(3 x^2+1\right)^9 \\ \frac{d y}{d x} & =9\left(3 x^2+1\right)^8 \frac{d}{d x}\left(\underline{3 x^2+1}\right) \impliedby \text{ไส้} \\ \frac{d y}{d x} & =9\left(3 x^2+1\right)^8(6 x) \\ \frac{d y}{d x} & =54 x\left(3 x^2+1\right)^8 \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{d(\mu v)}{d x}=\mu \frac{d v}{d x}+v \frac{d \mu}{d x} \end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{d}{d x}\left(\frac{\mu}{v}\right)=\frac{v \frac{d \mu}{d x}-\mu \frac{d v}{d x}}{v^2} \end{aligned}$

ตัวอย่างโจทย์

ให้ $y = (2x+1)^{10} (3x-2)^{7}$ จงหา $\begin{aligned} \frac{dy}{dx} \end{aligned}$

วิธีทำ

เรามองว่า

$\mu$ คือ $(2x+1)^{10}$

$v$ คือ $(3x-2)^{7}$

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} &=\frac{d}{d x}\left[(2 x+1)^{10}(3 x-2)^7\right] \\ \frac{d y}{d x} &=(2 x+1)^{10} \frac{d}{d x}(3 x-2)^7+(3 x-2)^7 \frac{d}{d x}(2 x+1)^{10} \\ \frac{d y}{d x} &=(2 x+1)^{10} 7(3 x-2)^6(3)+(3 x-2)^7 10(2 x+1)^9(2) \\ \frac{d y}{d x} &=21(2 x+1)^{10}(3 x-2)^6+20(3 x-2)^7(2 x+1)^9 \end{aligned}

\allowbreak \begin{aligned} &&\frac{d y}{d x} =\frac{d}{d x}\left[(2 x+1)^{10}(3 x-2)^7\right] \\\\ &=&(2 x+1)^{10} \frac{d}{d x}(3 x-2)^7\\ &&+(3 x-2)^7 \frac{d}{d x}(2 x+1)^{10} \\\\ &=&(2 x+1)^{10} 7(3 x-2)^6(3)\\ &&+(3 x-2)^7 10(2 x+1)^9(2) \\\\ &=&21(2 x+1)^{10}(3 x-2)^6 \\ &&+20(3 x-2)^7(2 x+1)^9 \end{aligned}

นิยาม

\begin{aligned} f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{aligned}

ตัวอย่างโจทย์

ให้ $f(x) = x^{2}$ จงหา $\begin{aligned} f^{\prime}(x) \end{aligned}$ โดยใช้นิยาม

วิธีทำ

\begin{aligned} f^{\prime}(x) & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cancel{x^2}+2 x h+h^2-\cancel{x^2}}{h} \\ & =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cancel{h}(2 x+h)}{\cancel{h}} \\ & =2 x \end{aligned}